直線の束

松谷です。

ちょっと数学的な話題でも、

高校で習う直線束（ちょくせんそく）とかいうのがあります。

 

kが実数をとってかわるとき、この方程式が表す様々なグラフは何を表すのか？っていう問題ですね。

で、まあ、こういう風に解釈してあげるわけですね。

つまり、kについてる部分と、それ以外の部分が両方0になるような(x,y)の組、つまり、直線の交点(今回は(1,0))なら、kに関係なくその方程式を満たす。

しかも、kがどう変わろうが、これは直線を表す。よって、交点(1,0)を通る直線の群を表す。これを直線束といったわけですね。

でも、実はこの表し方では、欠点があるわけですね。交点を通る直線の中で、kにくっついてる直線x+y-1=0は表せない。

で、それみ含めて表したいときは、

両方にパラメーターをつけて表現してあげればいいわけですね。

もちろん２パラメーターになるのが逆にうっとうしいという面があることは否定しませんが。

でも、なんか２パラメータの式見ていると何かと似ているなって思いませんか？

そう、普通の直線の一般形ax+by+c=0みたいなのに近いなという。

直線の一般形はもしかして、直線束なのか？

実際に変形してあげると、うん、まあそれっぽい解釈ができます。

でも、通る点がパラメータに依存してるのがちょっと違うかなって感じでもありますね。

ax+by=0なら、x=0,y=0を通る直線束

a(x-1)+b(y-2)=0なら、x=1,y=2を通る直線束って感じですけどね。

もちろん、これには、もう一つ重要な読み替えもありますね。

つまり、(a,b)と(x-1,y-2)の内積が0つまり、(1,2)を通り、法線ベクトルが(a,b)の直線を表していると分かるわけですね。

y=ax+bだけでなく、少し違う解釈をしてあげると世界が広がることがありますね。