2025大阪大理系数学所感
松谷学松谷です。
今日は面談や体験授業などをしに教室に来ていたので、
そのときに2025大阪大学理系数学を解きました。
その所感を述べておきたいと思います。
予備校さんの問題とか解答とか。
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全体
150分で5問の大阪大ですが、去年よりはだいぶ簡単になったなという印象です。というか去年はかなり難しくて、体感では難化した京大よりやりにくく感じたくらいですので。一方で、今年は半分の時間もかからずに全部出来てしまったので、相当に易しくなったのではないかと思います。ただ、全問題について序盤に超えるべきポイントがあって、そこを超えたらあとはスムーズみたいな感じです。だから、点差はめちゃくちゃ開くだろうなと思います。どうなんでしょうか。3問くらいは取りたいように感じます。医学部ならできたら全部合わせたいような気がしますが、実際には1,2個ミスしたり思いつかなかったりするのが普通なのではなといったところでしょうか。東大の問題解いた後だから感覚がバグってるのか？！そうではないと信じたいですが。。。
第1問 ベクトルの内積の計算など
(1)ベクトルの内積の計算ですが、一方の他方への正射した(符号つき)長さ✖️他方の長さという定義通り考えれば、1秒くらいで出ます。
(2)は文字で置いて、内積0の計算をするだけですね。(3)はそれが線分上の一部に来る条件を計算する。ただの二次不等式の問題です。しかし、答えが汚い。。。合ってるかどうか自信が持てないですね。。。。しかし難易度は易しいと思います。
第2問 極値の差について
(1)三次関数の極値の差の問題ですね。まさかのわざわざ微分の積分を考えるというテクニックそのものの問題ですね。わおびっくり。
(2)は(1)の結果からpとmの等式の条件が求まるのでそれを代入したらxもyもpで表せるのでパラメータ消去できますね。これも極めて標準的ですね。やや易しいとも言えるかもしれません。
第3問 直線と角度一定の点が描く軌跡上にある点についての最大最小
少し高度な話ではありますが、直線と角度一定の点がつくる軌跡は円錐面になります。円錐面を普通に斜めに切ると楕円になりますね。ということで、まずxy平面上の楕円の式を出します。そのうえで(x+1)(y+1)をどうやってだそうかなと。パラメータ表示が頭をよぎりましたが、楕円の式見たら(y+1)^2があるなあ。じゃあ求める値が正確定なら二乗できるからうれしいなあと思ってみたら、おっxの範囲で考えたらx+1正だ！らっき～。とやったら、普通の4次式かなんかになって微分して範囲における最大最小求めて終了。これも実際は標準レベルだとは思います。
第4問 定積分の評価と極限
まずは(1)で定積分を評価します。積分の不等式の問題は、積分区間、結論の式、中身の式の形やグラフなどがヒントになります。積分計算できるもののなかで1/tになるようなものであるかなと。-1≦sinx≦1で評価したらいいか。しかし、1/2tとかになってがばがばな感じがするけどこんなんでいいのか。。はて。標準かと。(2)まあ(1)につなげたいと思うと部分積分かなと。やや易しいのではないかと。(3)これも(1)か(2)につなげたいなと。そうしたらどう考えても積和しかない。二つの部分に分かれた。目標の式につなげるには被積分関数同じにしたいなあ。う～ん、2x=uとか置いて置換積分かな。あっだいぶ近づいてきた。あとは、目標の式を考えながら積分区間をつなげながら(2)を利用してという感じですね。うむ。これはやや難なんじゃないでしょうかね。ここまでのなかでは一番難しいですね。
第5問 コインを投げて3文字の文字列の隣を入れ替えるときのn秒後の確率
隣の文字列の入れ替え。東大のデジャビュ。しかしこちらはオーソドックス。まあ確率漸化式のにおいしかしませんね。とりあえず状態推移を考えましょうと。1秒後、2秒後と。基本的には、1,2秒だと初期条件の影響が強すぎて状況が把握しきれないことが多いので、4秒後までやってみるかと。ああ、奇数と偶数で3つずつの状態がありますね。定石通り問題で問われてない以外の文字も置きますかね。全事象の確率1も使いつつそれぞれ2つずつ文字おいてやってみるか。はい。まああとは解くだけですね。一つ飛ばしの漸化式を偶数のとき求めてやると終了と。とても適度な難易度だと思いました。標準からちょっとプラスくらいかなと。
1,2を出来たくて、3か5を得意に応じて取るって感じでしょうか。4も(2)までは行けるかなと。
