2023北大理系数学を解いてみた

松谷です。

ちょっとブログが書けていなかったのに気づきましたので、、

少し難しかったらしいという噂を聞いて、

2023の北大理系数学を解いてみました。（記事稼ぎともいいます（笑）だいたい１日１個ペースを目指していますが、たまに密かに？頓挫しています笑）

2023年度 北海道大・理系数学 (densu.jp)（ネットの引用をさせていただきました）

全体

120分5問で、これまでの北大は基礎～標準問題ばかり出すので極めて高得点の争いという感じで、難問をやっても意味ないという感じでした。しかしながら、2022や2023はかなり難しめになってきており、高得点を獲得するには東大とか京大レベルの問題にたちうちできるくらいの力が必要です。6割くらいまででしたら、まあそこまでのレベルじゃなくてもいいんですけどね。８割となると急にレベルが上がる感じです。つまり医学部志望(獣医もかな）の人とかは結構難しいところまで踏み込まないとだめって感じですね。

 

 

第1問　複素数平面　複素数平面上の円が変換されていく漸化式の一般項。

複素数平面上で変換の式によって定義されて円が何度も変換されていくときの、n番目の円の式を求め、そこと原点との距離の最小値を求めたり。変換の知識の複素数平面上の円の式が分かっていれば、それを入れて、数学的帰納法などで示せばいい感じです。円の中心がどこを動くか式からわかるのでわかりやすいですが、ちょうど良いレベルの入試演習問題ですね。標準ちょいプラスみたいな。

第2問　空間座標　空間上の球面の方程式

空間上の球面の方程式を切断面である円から求める。そのあと、直線とその球の二交点の距離を求める。かなり典型的だとは思います。数２B（今でいう数２ＢＣ）の初期学習時の題材としていい感じですね。これは空間にさえ慣れていれば結構易しめです。

第３問　数３の微分　グラフと方程式の解の関係。

y=xe^(-x)のグラフを書いてから、それに関連する問題を解く感じです。割と典型的な題材ですが、少しだけひねられています。いずれにせよ同じ形を見たら、元の関数の増減を考えるのが有効なときも多いですから、なんとか答えにたどり着けるんじゃないでしょうかね。書き方が下手でも。標準的ななのかなと。

第4問　場合の数確率、不等式　絶対値つきの離散関数がとりうる最小値

n回のさいころをふった目に応じて決まる絶対値つきの離散関数の最小値を考察する問題です。(1)が誘導になっているんですが、ここのハードルが割と高いんですよね。無理やり数えることもできなくはないですが、いろいろ調べていくうちに、規則に気づくか、三角不等式の利用に気づけばその次につながる解決がなされます。そうすると(2)の一般化もスムーズにいきますし、(1)の答えにも納得感が出てくるわけですね。でも三角不等式に気づかないと結構(2)の必要十分条件であることの証明は難しいかなと思います。答えが分かったならば証明無理でも、それを生かして(3)を解いてしまうというのが吉ですね。重複組合せとしっかりつなげるのはしっかりした場合の数の知識が必要ですね。これはちゃんと完全解答するのは難しいと思います。というか(1)がほとんどできないんじゃないかなあという気がします。

第5問　図形と方程式　円上の点の接線に対する対称点

円上のある点における接線に対する対称点を通る直線が接点を通る条件を考える問題。(1)は中間値の定理で一発ですが、(3)で(1)で出した関数の単調性まで結局言わなければなりません。しかし微分した式がすぐに正負が分からない形なんですね。微分した式の特徴を観察しうまく相加相乗の利用を思いつけばあとは問題文の文字についての条件を利用してあげれば解決します。最後の(3)の半分がかなり難しいですが、そこまでは典型的なので、難易度としてどう表現していいかわからないですね。多分結構点数は来るから標準といっていいんですけど、完答難易度はめちゃ高いです。

 

そんな感じでした！

こうやって解いた問題のなかで面白そうな問題をふとひまそうな生徒にやってもらったりしているのでまあ意味はあるんですね。

僕も勉強になりますしね。

ではでは。今週も頑張っていきましょう！