2026東大理系数学感想
松谷学松谷です。
明日、大学の合格発表でまったく平常心でいられないので、2026の東大理系数学を解くことにしました。
今年は東大を受ける人がいなかったので、後回しにしてまだ解いていなかったんですね。
そうしたら、その間に、今世紀最難だなどの情報がもう上がってきていて、それをしった上で解くことになったので、ちょっと反則だとは思います。（ちなみに、史上最難かどうかは議論が分かれるみたいです。1990年代がやばいのが多いので。1990とか1998とかですかね）
やっぱり難しいか簡単か知っているかどうかっていうのはとても重要なのでね。
全体
6大問
150分
120点満点
全体感想
噂にたがわぬとんでもない難易度でした。難しいだけじゃなくて、処理時間もめちゃくちゃかかるのでこれはもうさすがに受験生無理じゃないですかね。。(1)は全部拾える問題で、あとは第2問が唯一標準的な東大入試という感じでした。僕も2,3,5だけやって、残りは(1)で終了でした。しかも答案清書してないからちょっと反則してこれです。時間終了したあとに、第1問に追加で30分、第4問に追加で30分、第6問に追加で60分・・・。(1,4は見落としが悔しいですが。。)いやあこれを5問半現場で解ききった受験生がいるらしいと聞いて頭の冴えと手の速さやばいなと。。。。でも理3受験生だとしても本番で3問できたら結構いい方なんじゃないかなと思います。理1,2だったら1問と残りすべて(1)とかで部分点で十分に良い方な気がします（それで45点くらい？）。しかし、こんだけ難しくしてどうするんだろう。。。他の大学とあまりにもレベルが離れた異質な難しさでした。。。数学講師としてはもっと研鑽せねばと危機感を覚えましたが、一方でさすがに入試としては弁別性は悪くないですかね。5時間くらいあれば。。
第1問 計算できなさそうな積分の不等式の証明
(1)でまずは、sinx-x+x^3/6の-1～1での最大値と最小値を求める問題で、まあこれは微分するだけです。で、(2)で不等式の証明です。計算できなさそうな積分の不等式なので、それを計算できる積分ではさむことが想定されます。それで(1)を用いるんでしょうね。しかし、用い方がすぐわからん。。そのままなんかグラフ書こうとしたり加法定理で計算したり（このときはこれが効くことに気づかず。。。）部分積分したり置換して計算したり目標の式から想像したりいろいろしたのですが、ちょっと無理で飛ばしました。。第1問が焦る問題な場合は、試験全体の難易度が一気に難化します。で、僕の場合は、試験後に戻ってきて、、、、(1)が-1～1の範囲だからsinxかcosxのどちらかを塊でおくことが推察され、さっき加法定理で試しに開いた式をよく見てみたら(もう片方は微分形がくっついてるので計算できて0になった)、(1)のxをcosxに書き換えてあげればいいいのかと。あとはcosxの正負に応じて、積分区間を分けてあげて計算したらできました。あっグラフの対称性使えば場合分けせずに4倍で良かったのか。。いやあ(1)の利用をもう少しうまく最初から考えれば良かったです。確かに気づいてみたら定型的な手法しか使っていないとも思います。でも本番だと余計難しく感じる問題だと思います。やや難と難の間としておきます。
第2問 長方形の枠内にある3つの格子点が三角形になる確率
直線上に並ぶやつを1から引けばいいですね。(1)で具体的な長方形の枠が設定されていたそこで規則を掴みます。縦と横と斜めで多少状況ちがうなと。でももれなく数えるためには、縦だけのやつを分けて、あとは、一番左の列の１個を選んでそれに対して何個あればいいなと数えれば良さそうです。(2)はその一般化ですね。(1)の計算をシグマ計算してあげる感じですね。(傾きを固定してシグマする方法もありますね。)まあこれは良心的な問題です。ただ別に簡単なわけではなくて、東大の標準的な問題だと思いました。そして、あとで気づくわけですが、これができないと今年は厳しいと。。。ちなみに、この問題よく思い返してみると、塾の膳所高校の子に見せてもらった実力テストの問題とめちゃくちゃ似てたかもしれません。その実力テストでは一番難しいとされていた問題みたいですが、これできないと今年の東大だと詰みですね。。。
第3問 球面上の３点の重心が定点となるときの軌跡と領域
(1)まずは、(5cosα,5sinα,0)などのパラメータを使って、重心の式を立式。求める中点の座標を(X,Y)とでもしたあとに、逆に解いてあげて、わかってるやつを欲しい奴で表して、分かっている半径4の円の式に放り込んであげれば'(X,Y)の関係式として円の式が出ますね。まあこれはよくあるような気がします。(2)あとは、その中点を通る弦の通過領域を求める問題ですね。線分の通過領域ですから、直線の通過領域の外側をカットしてあげるのが基本です。でもどう立式しようかなと思っていると、やっぱ(1)をうまく利用したいから、円上の点をθを使ったパラメータ表示するかあ。で、まあ弦の中点だからなあ、円の中心と結んだら垂直になることを使ったら楽になりそうな予感はします。内積で直線の式を立式ですね。あとは、(x,y)に対してθが存在する条件を考えるんですが、これは合成して絶対値が1以下ならθが存在するというやつが使えそうですね。変形すると双曲線が出てきます。いやあこれもやや難しいと思います。でも今年の大問を見渡すと第2問の次に取りたいのがこれじゃないでしょうかね。
第4問 3次関数のグラフ上の点の接線が正三角形を作る条件
この(1)は滋賀医大に似たような問題あった気がするなというのが最初の感想ですね。なので、そのときをイメージしつつ傾きはtanですから、そのtanが存在していたらよいと。3次関数が原点対称であることもしっかり見抜いたうえで、x=0での接線の傾き-k(傾き最小)を基点に考えていくと良さそうかなと。tanがあるθのときとθ+60°のときもθ+120°のときも存在するためには、θが-30°より小さくないとだめだなという感じですね。(2)はそれぞれの傾きをtanの加法定理か複素数平面などでkで表してみると。そのうえでy=-kxと交点のx座標を求めてみると。接点をα,0,βとか設定したら交点も簡単にα,βで表せた。ラッキーラッキー。それに√k^2+1倍したら辺の長さでるから、面積も出るか。α,βを消してkで表すためにどうしよかなと。解と係数の関係とか使わないと厳しいなあと思っていたら、、、違うやんけ！！！問題勘違いしてた。。。k定数として考えた時の面積4倍か。最大と最小は平行移動して接するときの２種類のことね。平行な接線の接点原点対称だな。だから図書いたら相似比が1:2のときか。接点のx座標の差で考えて1:1になるときを確認ね。これ文理共通なのか。三次関数性質がいろいろ詰め込まれてて面白い問題だったけど、途中の読み間違いが痛い。。くそっ。でもそれ加味してもやや難でしょうね。
第5問 複素数平面の軌跡がどのように変化するか
(1)は|Z|=1を満たすzに対して(Z+3)^3を考えて偏角を考えるという問題でした。複素数平面は図形と方程式な性質とベクトル的な性質両方あるので、これは素直に3平行移動して考えてあげれば、Z+3の動きがよくわかります。偏角の最小のときと最大の時も接するときなので幾何的にすぐわかりますね。3乗なので偏角も3倍になります。sinの三倍角の公式を用いたら範囲が出ますね。これはほどよい感じの問題で出来ますね。(2)はまずは、原点中心半径1の円内を動けることはすぐわかります。しかしそれ以外の軌跡全体を考えるのはかなり苦しい。でも、3乗した偏角のところが、0かπになるところがあればいいんだなと思えば、3乗する前の元の偏角が2πn/3とπ/3+2πn/3となってればいいことがわかり、半径1の円がその直線二つとともに共有点を持てばいいから、距離1以内だったらいいなと思って、あとは塗り絵みたいな心境ですね。いやあ見慣れない問題なので確信があんまりない感じの問題ですが、面白いですね。でもやや難だと思います。
第6問 約数の3で割って1余る数と、3で割って2余る数の関係
整数問題ですね。第1~5問まで散々痛めつけられたあとの第6問。これは問題の意図はとってもわかりやすいですね。(1)は2800について約数の3で割って1余る数と、3で割って2余る数を数えろと。ふ～んと思いながら因数分解を実行しつつ2,5,7が出てきて、素因数事態に3で割って2余る奴(2,5)と3で割って1余る奴(7)が出てきた。それらがどのように影響するかを掴むわけですね。modで考えたら、3で割って1余るやつは何回かけても3で割って1余るのに対して、3で割って2余るやつは、2,1,2,1と交互に続くわけだなと。で、f(n)とg(n)が出て、わずかにf(n)の方が大きかったと。(2)では一般にf(n)≧g(n)を示せと。素因数3があるかどうかはあんまり関係なくて、3で割って1余るやつがあったらそれは両方を何倍かに増幅するだけだから、結局3で割って2余るやつの個数が大事ってことか。奇数個か偶数個かみたいな。(3)はg(n)=15のときのf(n)のとりうる範囲はと。同じ15になるのと、一個大きい16になれるのはぱっと分かりますが、どこまで大きくなれるのかと。3で割って1余り効果の増幅がどこまで起こるのかと。15になるには、6,5ペアの3倍とか4,3ペアの5倍とか2,1ペアの15倍がありうるからまあそういうことか。しかし、これ答案として書くのひたすら鬱陶しいな。。。難で。。パズルとしては面白いですけどね。
ちょっと解いて疲れきったのであんまりまだ予備校の答えを吟味できてませんので、ほんと感想レベルですみませんが。。
合格発表とかあるとこの記事出せなそうなので、とりあえず備忘録として出しておきます。
もうちょっとがっと頭を速く動かす訓練しとかないとな。学校の先生じゃなくて塾講師ですからね。
