2026京都府立医科大学数学を見てみた

松谷です。

昨日のトロイの木馬騒動を経て、

ネット上で見つけられてなかった、

京都府立医科大学の数学の問題が、普通に大学のHPに上がっていたので、、、やっと見られました。いつ上がったのかしら？

https://www.kpu-m.ac.jp/doc/examination/exam_gakubu/kakomon.html

今年３人も合格してたので、本当は合格ランチ会のタイミングでは見ておきたかったですけどね。。入試の問題の話はそのタイミングが一番新鮮なのでね。

ちなみに、府立医大受ける可能性がある人は大学が思ってる想定解答が書いてあるので参考にするべきかなと思います。英語とかの記述でどこまで書くか迷うことってあると思うんですが、明確に指針が得られますので。

 

全体

120分で4問

府立医大といえばかなり数学が難しい年も多いですが、近年はまずまず程良い問題のときも散見されます。今年に関しても、全体でいうと、無茶な問題はほとんどなくて、少し経験が少ない問題でも、びびらずついていくことができれば、6割くらいはとれるような気がしまして、そのあたりが合格ラインなのかなと思いました。ただ、全部の問題ともにある程度取らなければいかなくて、捨て問というのもなかったかなと思います。第2問と第3問が差がつきそうな気がします。

また、この問題そのものとあまり関係ないですが、府立医大は難問だから差がつくと思われがちですが、案外共通テストの点数の出来がそのまま合否につながってるような印象も受けます。つまり、共通テストめちゃ悪かったけど数学すごくできるから大逆転狙いでという戦略でいくときに結構上手くいきません。いや、もちろんハマればうまくいくはずなんですが、たとえば、共通テスト７割5分くらいしかとれてなくてみたいな人が合格を狙うというのはギャンブルかなと。今年の難易度でも８割ちょいはないと勝負できてないんじゃないかなと。

 

 

第1問　共通接線と囲む面積

指数関数と√xの二曲線が接する条件を求め、それらとy軸が囲む面積を求める問題です。f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)を解いてaを出して、tを出すというよくある流れですね。面積はミスらないように積分すると。負にならないかどうか気をつけて。

あとは、大小比較なので、AとBの大小はCとDの大小は同じなどと変形しながら議論するか、S1＞S2であると予想されるのでそれを示すなどというような書き方をすればいいかなと思います。手が動きやすいやや易しめの問題で4問の中ではこれを計算ミスせずにとるというのは合格への必要条件ではないでしょうかね。間違うと厳しくて、出来ても合格は決まらないというような類の問題かなと。

第2問　正多角形の対角線の問題

正多角形の頂点から２点を二つ選んで、対角線を二本引く、ただし、辺に一致するとかもあると。それらによって、いくつの部分に分けられるかと。まず全事象を何にするかと。とりあえず異なる線を引くというのは確定見たいですから、nC2から二つ選ぶみたいな感じが全事象としたらいいかなと思います。(1)の1つにわけるのは両方辺上を選ぶ場合と。(2)が肝で4つの場合がどういうときなのかを考えると、四角形を一種類選べば、その対角線が一つに決まるということに気づくとさくっとできます。そこのアイデア勝負ですね。結局(3)の期待値を求めるときに、直接やるとk=3の場合がハードで余事象を考えなさいよというヒントを出してくれたということかなと。標準的ではありますが、これはかなり合否を分けそうな問題に思います。これを完答することができたらぐっと合格に近づくんじゃないかなと思います。求値問題なので、少なくともn=4などで試して慎重に合っているか検算しながら進みたいところです。

第3問　底面の頂点までの長さが等しい四面体

まず内積の条件から△ABCが二等辺三角形であることを導きます。cosの定義内積の定義からしたらあまりにも当たり前な気はしますが、まあ垂線おろしたところまでの長さが等しいということなので、中学生以来の方法で合同から二等辺三角形が示せます。当たり前なのでどこまで書けばいいか迷いますけど、びっくりして何も書かないと大損ですね。外心であるというのも垂線おろしたら高さは等しいのだから三平方の定理で頂点までの長さが等しいのは当然ですね。これもビビらないかどうかが肝ですね。(3)は座標とかおいてごり押しすることもできますけど、底角θの二等辺三角形の頂角がπ-2θであることその半分がπ/2-θであることをうまく使ったらほとんど計算なくできます。ついでに、高さもすぐでます。ですので四面体の体積も出て、あとは、√の中身がcosθの4次関数もしくはcos^2θの二次関数の最大値ですね。なんとなく相加相乗とか使える形ですが、素直に、微分か平方完成でできますね。びびらずできるかどうかかなと。標準的ではありますが、これも第2問と同じく案外差がついているかもしれません。

第4問　関数の増減と極限

tanxを含む関数のグラフの増減を(1)で考えさせられて、それはどこに使うのかなと思っていると、自然に(2)に生きてきます。いや生かそうと思っているとcosで割りたくなって生かせるという感じですね。それがそのまま(3)につながります。示すべき式を見て確かにtanxのグラフがxより上であること、区間を区切れば2xより下にありますよねということを言ってあげたらいいです。ということで案外(3)まではスイスイ行きます。ただ、(4)は結構難しくて、上からの評価を無理やり作りに行く必要があって、(3)からx≦π/4であることをむりやり使って評価をしたり、もしくはxの値の大小をf(x)の値の大小に差し替えて検討するという手法も有効です。多分、今年の問題の中では一番難しいかなと思います。でも、もしできなくても、(5)は(4)が示されたとして、瞬殺でできますので、確実に点数を取りに行って欲しいですね。これもどこまで粘れたかという問題ですが、(4)以外は別にビビらなければできるような気がします。