2025一橋大数学
松谷学松谷です。
連続で文系数学ですが、2025一橋大文系数学を解いてみました。
一橋大学といえば、かなり教育的で難易度が高めな問題を出すイメージです。
個人的には解いていてちょうど面白いなと感じる問題です。
今年はどうでしょうか。
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全体
うぉ。これは全問題ある程度以上の問題じゃないか。。明らかに難化だな。京大理系の１A２B範囲の問題と言われても違和感がないです。つまりその人たちが受けても適度に差がつくということです。これは今年の京大の問題より明らかに難しいな。今年の易しかった阪大文系の問題と比較するとレベルが違いすぎる感じになってますね。相当訓練していないとまったく対応できないと思います。
しかも、全問題難しいというのがたちが悪いですね。。いやあ僕として全問題面白いんですけど、文系受験生としては全問題しんどいと思います。いやあそれにしても本当に全部やや難以上の問題だな。すごいな。しかも入り口が手がつく分、時間もかかってしまいますし、0から100まで見事に実力によってばらけるでしょうね。合格者平均は4割〜5割くらいでしょうか。
第1問 約数の個数と離散関数の最大値。
(1)で一橋らしく年度の2025がちょっと登場。f(x)のxに代入するだけですが。(2)では、離散関数の増減を考えるきっかけをもらいます。約数の個数の知識を使いつつ、不等式を整理していくと、p,kは非常に限られることがわかります。それしかないことをちゃんとのべて終了。標準ですね。(3)では、全体的に分母にくる指数の方が分子にくる多項式より大きくなりすいことを考えると、f(x)はたいして大きくなり得ないことがわかります。そのときに(2)の例外的なケースが最大の候補かなというのをまず考えてやると。しかし、結局それじゃないんですよね答えが。。不等式などを使ってちゃんと議論しつつどのケースが最大なのかを検討していくんですけど、これはきついわ。難ですね。
第2問 円と円が二点で交わるように動くときの軌跡
(1)で円と円が交わるときの条件を、半径と中心間距離などから特定すると。(2)では、円と円の交点を通る直線の式を円束（根軸）の知識から出してあげて、対称点をとると。対称点をパラメータ表示してうまくパラメータ消去すると。消去するときにパラメータの範囲を軌跡に反映させると。x、yは分母が一緒ですから、y/xをしてあげればパラメータが簡単に表せますので、代入してあげて終了ですね。(他にもtan置換とか二乗和をいったん考えるとかとありえますが。)実際に図を動かしてみたら、確信がもてますね。除外点などにも注意しながら答えると。いろんな受験の中級知識のオンパレードで、これもちゃんと最後まで答えきることを考えるとやや難だと思います。
第3問 積分と絶対値と定数分離
いやあ文系最重要項目を見事に絡めてきますね。。第2問に続きこれでもかという感じで。まず絶対値を外そうかなと。そうしたら、aの正負が気になりますね。さらに√aが積分区間に入っているのかでも場合分けすると。あとはaのグラフを書いてあげて、kを定数分離して答えると。途中で文系なのに√aの式が出てきてしまってミスを激しく疑いますが、。。。√aをtとか置きなおして処理するってか。。。う～む、やや難です。
第4問 空間上のある平面内の三角形に接する円
いやあ文系としてはかなり扱いにくい空間ベクトルです。まず直線上の２点を特定します。そして原点からその２点へ半直線を引くと。その平面を取り出すと。改めて平面を取り出してとらえなおしてあげるといいですね。空間座標などはったん無視して。あとは、接する円を考えてあげたらよくて、角の二等分線を考えればいいですね。角の二等分線は辺の比が底辺の比になるので内分点の延長でもいいですし、単位ベクトルを考えてひし形の対角線の延長というようにするかどっちかですね。内積を利用してcos2θを求めてからcosθを出したりすればいいかなと思います。いやあやや難ですね。
第5問 確率漸化式
まあ漸化式ですね。推移を調べたら偶奇の違いに気づくと思いますので、それで確率漸化式を立てるという感じですね。偶数と奇数のときで扱いが違うのがミスしやすいと思います。nの役割が違うというか。C,Dも対称性でセットにしたり、全事象の確率1使ったりも必須です。(2)は条件付き確率ですね。(2)のEにずっと行かないやつを計算してやると。これは漸化式というより直接求めるのが普通でしょう。あとは場合分けして答えると。やや難です。
いやあ本当に全部やや難だな。簡単に完答できる問題がないです。本当にしっかり実力を養成していないと歯が立たないと思います。東大や京大と完全に同レベル（上回ることもよくある）の難易度に対応する準備をしっかり行った人だけが食らいつけるという問題ですね。厳しい入試です。東大京大理系や難関医学部に行きたい人でも1A2B範囲でこれくらいの問題を全部完答できれば相当に優秀だなと思います。
