2026京大理系数学感想

松谷です。

受験生や同日模試などを受けた生徒本当にお疲れさまでした。

一応、京大理系数学を先ほど解きましたので、感想を載せておきたいと思います。

まだ概要を見たくない人は見ないで戻って頂ければと思います。

 

そして僕は家でぬくぬくと解いているので、難易度の感覚は少しずれている可能性があります。ご容赦ください。あくまで備忘録的な位置づけなので。

本番の会場で解くと普通の問題でも、かなり難しく感じるものなので。会場で解いている受験生が一番偉いです。

でも、それでも僕も問題を見るのが怖いと思いながらどきどきしながら見て解いてみました。

 

全体構成

6大問

150分

全体感想

全体としては、正直相当難しい問題（第3問）が１問混ざっていたせいで、ある程度できる人たちの中で差がつきにくいかもしれません。また、計算したりして値を求める問題ばかりなので、どんなに上位の人もどこまで行ってもミスが怖い問題たちです。全体としては、小問が一つもない京大らきい形式であるものの、最初の手がつきやすい問題は多いかなと感じます。第1問の微分計算極限計算が結構煩雑でミスを誘発するので、そこで焦ってしまうと全体の体感難易度が上がってしまうと思います。最初去年と同じくらいの難易度なのかなと思いましたが、3番が去年のどの問題より難しかったので、点のとりにくさは少しだけ難化したと言えるのかもしれません。

 

第1問分数関数とy=kの共有点をもつ条件

分数関数の極限を調べつつ、微分して増減もしらべる問題です。極値をもつような条件を考えて、極小値と端点のy座標の間にある条件を調べます。aで場合分けしつつ、地道に計算していきます。分数関数の計算を結構ミスしそうで、怖い問題です。難易度は京大の標準だとは思います。できたらなんとか合わせたい。

第2問正四面体のねじれの位置にある線分と共有点をもつ条件

ねじれの位置にある一方の線分上を動く動点を中心とした球が、もう一方と共有点をもたない半径の条件を求める。まあねじれの線分上にある点をパラメータでベクトル表示してその距離を求める感じですね。最短も最長も図形的に明らかではあるので、答え的には想像できるものの、ちゃんと式で示すことが求められます。直感はだめです。四面体とくればベクトルも座標も幾何・三角比もありますが、まあ線分上を動く点でしたらベクトルが便利かなと。rが最小値より小さく、最大値より大きいと両方をしっかりあせらず記載できたかですね。こちらも京大の標準的なレベルだと思います。これも出来たら合わせたい。

第3問　多項式の二項係数に関する問題

いやあこれは正直相当難しいかなと思いました。ちょっと地雷気味なんですよね。最初まあ2^n+1Ck-2^nClを考えていけばいいなと単純に思ったわけですね。そしたら、相殺のあるなしで奇数次と偶数次では話が違うなと。まず奇数次の方がつねに2^n+1で割れることを示してと。この二項係数の話題は、東大の1998あたりの問題だなあ。よしよし、偶数もやるかと。なに？！うまくいかん。焦る焦る。焦った時は大元の式に立ち返るのは有効です。二項係数だけを本質として取り出したきになりましたが、実際勝手に式変形したのは僕ですからね。それで見たら数式の形を利用して上手くできないかと思った時に、自然数での証明の一つの帰納法を思い立ちました。そうしたら、あれよあれよ2乗引く２乗から仮定が使える形になって、そのあとも二項係数の各項が偶数になるみたいな話を使う感じでなんとかいけました。いやあこれは僕は正直試験場だったらできなかった可能性が結構あると思います。一つの方向で問題のかなり奥までいけてしまう場合は引き返しにくいんですよね。メンタル的にも時間的にも。だから僕としては、難易度は「難」としておきたいと思います。

第4問　正三角形の中に入る正方形

正三角形の中に一辺１の正方形を入る場合の、一辺の長さの最小値ですね。塾で取り扱った内容にも似ているものがあったんですよね。でも、まあ普通にパラメータを設定します。３点を辺にくっつけた状態で考えて、まあ角度ですね。角度いっぱい分かってるときに、角度変数を取るとだいぶ楽になるときがありますが、当然自分で文字を置いたら範囲を確認です。いつも口を酸っぱくして言っていますが。対称性確認したら30°～60°でいいかなと。角度いっぱい分かっているときの辺の長さですから、正弦定理ですね。それでθを使って辺の長さが出ますね。あとは、まあ三角関数の最大大小ですから合成ですかね。ただ、この出てくる値があまりにも当たり前の値なので、疑念がぬぐえません。逆にいうとさらっとこの値ですって書いた人にどれくらい点数が来るのか。議論がなかったらほとんど点がないかもしれませんね。結構怖い問題に感じます。標準的な京大っぽい問題だとは思います。

第5問　x軸をまたいで三角関数のグラフが囲む部分の回転体の体積

αの範囲がちょっとやっかいなので、どのような交わり方になるのか慎重に考察ですね。場合分けが必要なのか結局一緒になるのか完全に確信はない中で場合分けを実行ですね。x軸をまたぐ回転体ならいったん折り返してからそれを回転させる方が見やすいかなと思います。対称性を考えてx≧0の部分を回す感じですが、ちゃんと示した方がいいとは思います。体積は回転体から回転体を引くようにしたらでるかなと思います。ただの計算問題だとは思いますが、されど怖い計算問題です。難易度は標準なんだと思いますが、すごくできる人も実力不十分な人も同じような点になりがちな問題でいやらしいです。

第6問　3枚取り出したカードの最大値の期待値

これはやりやすいかなと。最大値だから余事象とか使うかなと一瞬よぎりますが、まあx=kになるときの確率を求めて期待値をシグマ公式で求める感じですね。連続する数のシグマですから、隣り合う項の差の形にすか、委員長の公式やパスカルの三角形を使うかです。でも、まあ連続するやつの隣り合う項の差の形にするのが簡単かなと思います。これは標準からやや易しいくらいかもしれません。n=3を入れたら確認できて確信を持てますからね。京大は東大と違って第６問が簡単なことがあります。簡単な問題で時間切れという唯一悪の時間配分をしなかったかも問われますね。