偏差値100超えやマイナスはどれくらいの状況かを検証！

松谷です。

このまえ模試を見せてもらったのですが、模試で偏差値100超えの人がいたので、偏差値100超えがどれくらいすごいのか、またそれと対を成す偏差値マイナスがどくらいすごいことなのかを検証しようということに雑談でなったんですね。

100超えはまあおいておいて、偏差値マイナス検討してみましょうか。マイナスの境である0を超えるかどうかですね。

 

さて、簡単のため、5人のクラスで1人0点で、100点が4人だったとします。なかなかの苦戦だと思います。

彼の偏差値を求めみましょう。

偏差値は、「50+10×(x-xバー)/s」で表されます。（xは得点、xバーは平均、sは標準偏差です）

偏差値における50+10×というところは本当に商業的な色付けにすぎません。もし、偏差値の真ん中が0で、数字の振れ幅が小さかった場合は、よかったときにあなたは+2です、悪かった時-2です、になります。でもそんなのより、偏差値70でした。30でした。の方が見栄えがするからです。

さて、手計算の準備です。

標準偏差は√分散であり、分散は「偏差の2乗の平均値」ですが、今回は計算的には、別公式の「2乗の平均-平均の2乗」を使うのが良さそうです。

さて、分散について、2乗の平均-平均の2乗=100^2×4/5-(100×4/5)^2=1600ですから、標準偏差は40となりますね。

ということは、さっきの偏差値の公式に当てはめると、

偏差値=50+10×(0-80)/40=30

ですね。30というと、偏差値70の逆ということですね。意外に、まあよくいるくらいの位置なのかもしれません。

では、もう少し極端な状況を考えていましょう。やはり我々は偏差値0もしくは100を目指しているわけですから！

 

 

今度は、もう10人のクラスで1人0点で、100点が9人だったとします。これはもうさすがに大苦戦だと思います。クラスの中でも浮いている（沈んでいる？）とも言えると思います。

彼の偏差値を求めみましょう。

まず、分散について、2乗の平均-平均の2乗=100^2×9/10-(100×9/10)^2=900ですから、標準偏差は30となりますね。

ということは、さっきの偏差値の公式に当てはめると、

偏差値=50+10×(0-90)/30=20

です。これは、偏差値80相当ですね。これはもうかなりまずい状況だと思ったんですが、意外に耐え？と言えるのかもしれません。

 

今度は、もう50人のクラスで1人0点で、100点が49人だったとします。これはもうさすがにそのクラスの中では特殊な存在すぎると思います。幼稚園にジャイアント馬場がまぎれこんでいるようなものです。いや、ジャイアント馬場の中に幼稚園児が紛れ込んでいる？いや？ん？まあいいか。

さて、彼の偏差値を求めみましょう。

まず、分散について、2乗の平均-平均の2乗=100^2×49/50-(100×49/50)^2=196ですから、標準偏差は14となりますね。

ということは、さっきの偏差値の公式に当てはめると、

偏差値=50+10×(0-98)/14=-20!!!!

きました。ついに偏差値マイナスが達成されました。これはだいたい偏差値120レベルですね。

いやあ100越えって相当特殊ということがわかりましたね。

 

ちなみに、ぴったり偏差値が0になるためには、どうすればよかったのでしょうか？

0点が1人100点がn人の場合は、分散は100^2×n/(n+1)-(100×n/(n+1))^2=100^2×n/(n+1)^2

よって、標準偏差は、100×√n/(n+1)であり、

偏差値は、50+10×(0-100n/(n+1))/{100×√n/(n+1)}=50-10√nと表せる。

つまり、偏差値が0になるには、0=50-10√nを解いて、n=25

つまり、0点1人で100点が25人のとき、0点の人が偏差値0になるのでした！！！

まじでどうでもいい考察をしてしまいましたね。。。共通テストばりの同じことを何回もさせられる一般化を行いましたが。。。

たまたま選んだ100点の人数の数字が平方数だったときに上手く行っていたんだということがわかりましたね。

読んだ人のデータの分析の復習になるかな。。。。