2023東大理系数学、東大文系数学所感

松谷です。

京大数学に続いて、

2023東大理系数学、東大文系数学を解いてみましたので、その所感を述べておきたいと思います。

全体

去年より時間がよりかかる問題セットなのかなと思いました。難易度はどうなんでしょうか。最難問の第6問が去年より難しく感じたのもあって、上限が限られているのかなとも思うので、ほんの少し難しくなっているのなかという印象です。今年の京大理系数学に比べると正直２倍くらいハードモードな問題です。捨て問に近い最難問がある上に、昨年度に引き続き余裕で誰でも完答できる問題が0なので。。2問くらい完答して部分点拾えれば理1,2だと勝負できると思います。理3でも4完あれば十分勝負になってるんじゃないでしょうか。

第1問　定積分の評価と極限。定積分を評価してからのそれをはさみうちの原理で示すというよくある流れの問題です。ただし、(1)が意外に曲者で置換積分してから、区間の端に固定して被積分関数を評価するとうまくいくんですが、なかなか最初上手くいかず結構焦りました。本番で(1)に10分とか方針で迷ってしまうと汗がやばいと思うので、ちょっと怖い第1問です。(2)は(1)がたとえ出来ていなかったとしてもできたものとして解けばいいです。見るからに区分求積法ですね。k/nではなく1+k/nを塊にしたら少し楽です。標準とやや難の間くらいの難易度です。

第2問　文系と共通の３種類の石を並べる確率の問題。(1)は単純に黒石と白石並べといてからの赤石を間と端に入れてやればいいですが、(2)は最初に並べる黒石がすでに隣り合っているかどうかで結構丹念な場合分けが必要な条件付き確率で、漏れがないかをかなり慎重にやる必要あります。こういう確率の問題って合っているかどうかの確認が非常に難しいので、怖いです。難易度は標準とやや難の間くらいの難易度だと思うのですが、合っているかどうかは結構運命を分けますね。しっかり場合分けを書いてたら部分点くれるかなあ。

第3問　放物線と円とその接線の交点についての考察。(1)の放物線と円が接する条件を求めるところは割とおきまりの作業ですし、答えもある意味分かっているので安心です。(2)はそんなこと知らんがなという問題ですが、言われるがままにやればいいですね。接線が切り取られる線分をどう表現するかですが、解と係数の関係のβ-αのやつと方向ベクトルから分かる斜辺との比を用いて求めたらいいかなと。最後の異なる2点QRの存在を、極値の存在に言い換えられたかはポイントですね。関数自体は√の中を考えてsinθをtとかで置き換えたらそんな複雑ではないです。う～む、これも標準とやや難の中間くらいの難易度です。

第4問　ベクトルの平面と球が交点を持つrの条件。(1)(2)を解くだけなら計算するだけですが、これが誘導になっているようです。しかし、僕は正直解いているときにはいまひとつわからなかったです。そうすると、あきらめて最短になるところも平面との距離を考えればいいのか、辺上の点との最短距離与えるところなのか、各頂点との距離なのかというのが全部考察することになり、結構うっとうしいことになってしまいます。それでも、できるんですが、いろいろとミスしそうですね。これも標準からやや難の間くらいの難易度でしょうか。

第5問整式の割り算。(1)はまあ整数の合同式を考えたら当たり前のことを言っている感じですが、それを整式バージョンで示します。(2)ではそれを使って題意を言い換えていきますが、(x-1)^2で割り切れるという話は、x=1を代入して0になるのと微分したものにもう一回代入しても0になるという感じで処理したらいいですね。積の微分ですね。標準とやや難の間くらいでしょうか。

第6問空間図形の求積の問題です。これは図形の把握が結構難しいんですね。球の一部になるわけですが、(1)をパラメータ表示してから切ってやろうとしたらかなり厳しいんですね。う～むっていろいろ調べているうちに、z=x平面と球との交線を考えればいいかと気づくと道が開けます。でも(1)の求積自体はその式を使うというよりは各面の対称性を使って1/6倍するという処理じゃないとつらいです。でも(2)は(1)で考察した交線の式を使ってパラメータ表示して積分してやればうまく行きます。ただ、(1)の部分に付け加える部分が本当にそこを回転したものでいいのかというのをじっくり考える時間は受験生が試験時間中には持てないと思います。難易度は難だと思います。僕の処理スピード思考スピードでは本当に試験場で受けてたら正直捨てて残りの5問を合わせるのに集中せざるをえないと思います。。てかこれ試験中に落ち着いて考えがたい。

 

本当に休めないセットやな。。計算も処理も思考もしんどい。。

 

東大文系数学

全体

去年はすべての問題がそれなりに重くかなり難しい問題もあったのに比べると、難易度もそうですが、処理量も多くないので易しくなったと思います。高得点の争いでありつつ、どれくらいミスしないかの争いでもあると思います。こういうのって数学弱い人に有利なのか、不利なのかよくわからんですね。1,2をとって3,4どっちか合わせられたら勝ちですね。

第1問　分数関数の最小値。解と係数の関係を使ってkの分数関数に帰着します。k>2となっているので、k-2=t（t>0)とでもしてやると処理しやすいと思います。文系の分数関数処理といえば=kと置くか、相加相乗でしょう。t>0ですからね。相加相乗でいいかなと。難易度はやや易しい。

第2問２次関数上の点と直線との距離についての関数の最大最小。(1)は絶対値つきの関数の積分を場合分けしてしっかり行う。(2)は関数の差を微分して最大最小を確認。端点のどちらが最大になるのかの確認をしっかりする。あと、最小のところは、次数下げしてやった方が間違えにくく速いと思います。難易度はやや易しいから標準くらい。

第3問　理系と共通の確率の問題。文系にとっては標準からやや難の難易度だと思います。問題セット的に理系よりもしかたら丁寧に時間をかけて取り組めたかもしれません。正直合わせられたら合格直結くらいかなり大きい。

第4問　球面上に頂点がある正四面体の体積。四面体の対称性に注意して、半径1の球面上にあるという条件と合わせて高さを出していきます。対称面を取り出して考察しますが、案外ちゃんと空間を把握する力は必要だと思いますので、難易度は標準的とやや難しいの間くらいだと思います。(まあ僕は最初、座標を置いて計算したんですけどね。。解き終わった後に二等辺三角形をうまく用いて辺CDを求めてから面積二通りに表すやり方で高さを出しました。)

 

この難易度が吉と出るか凶と出るかはその生徒次第ですね。