二項分布の期待値と分散をシグマでごり押し

松谷です。

現在の高2生以下の生徒から学ぶ新しい単元の確率統計というのがあるんですね。

それの中で、二項分布の期待値と分散というのがあります。

つまり、たとえばさいころを100回振りますそのとき1の目が出る回数Xは？

みたいな話のことですね。

上の例だと、

Xは二項分布B(100,1/6)に従うことになっていて、

Xの期待値E(X)=100/6,V(X)=100×1/6×5/6となります。

期待値の方のイメージは、1回振ったら1/6回1が出る。それを100回やるから100/6という感じですね。

さて、これの証明は有名な証明方法があって、「和の期待値は期待値の和」を利用する方法です。

あとは、そこから独立な場合のみ「積の期待が期待値の積」が成り立つことも利用して「和の分散が分散の和」になることがわかり、分散の方の公式も導出できます。

 

でも、まあ最初に見たときにこの証明方法は絶対に思いつかないと思います。知っているからできるという類の証明ですね。

 

であれば、力づくでできる方法はないのか？あるんですね。それが。

シグマの公式を用いてごり押しする方法です。

 

 

やってみると割といいシグマ計算の練習になるので、面白いんじゃないでしょうかね？

統計の分野って二次試験に出すのは迷っている大学が多いようです。（東大は範囲内、京大は範囲外にするようです。ちなみに、

課程から外れたはずの整数の分野については東大も京大も範囲内です。ただし、阪大は両方範囲外。でも整数問題は高校課程に

入る前から入試には出てましたけどね。。。）

 

でも大学の先生もこういうやり方もありなら出したくもなるのかなと思いました。