2024東工大数学所感

松谷です。

お休み中のリハビリ？の一貫として、2024年の東工大の数学を解いてみましたので、その所感を述べてみたいと思います。ちなみに東工大は東京医科歯科大と合併して東京科学大学になっていきますので、今後少し入試は変わっていく可能性があるかもしれません。ただ、東工大の先生が入試を作るんだとは思いますが。

全体

なんとなく今年の東大と色合いが似ている気がしました。ほとんどの問題は発想はそんなに大変ではないけど、ひたすら計算が大変というように感じるところが多かったです。得点のしやすさでいうと去年よりはしやすいのかと思いますが。2問押さえてあと少しとれればいいラインなのかなと思います。

第1問　放物線と円が接するときの円の中心の描く軌跡

放物線と円が接するときの円の話で、東大であったのと似たような話題ですね。曲線が接するですから、その点を通りつつ、微分係数が一緒ということですね。法線が中心を通るとして処理したらいいと思いますが、東大もそうですが、ベクトルを使ったら少し楽でしょうかね。接点から法線ベクトル方向の単位ベクトルを半径倍に伸ばすというやつですね。いずれにせよ少し計算が煩雑です。(2)では中心の(x,y)をパラメータ表示したうえで、dy/daとdx/daを求めて割ってやればいいですね。標準といったところですかね。でもやり方によっては結構計算が鬱陶しいかもしれませんので、本番でできるかどうか勝負の分かれ道になるかもしれません。

第2問　条件が与えられた抽象的な関数を考察する問題

微分可能なf(t)とかg(t)とか抽象的な関数とその条件が与えられて考察する問題です。まあ言われているままに考察するだけのことではあります。微分せよとか、微分したものが定数関数を示せとか、極限を求めよとかなんでね。ただ、こういうのって現役の受験生はぎょっとして敬遠しがちだと思うんですね。だから実際の難易度より難しく感じると思います。あと(4)の曲線の長さまでちゃんと完遂するとなると計算量はまあまああります。さいごのtanθ置換もなんとなくπ/8がらみがこういう値になってると知ってないと詰まると思います。なんか今年は第1問といい東大とのデジャブ感が。。うーん、本番で完答しきるのはやや難なんじゃないでしょうかね。

第3問　図形と無限等比級数

まあよくある図形と無限等比級数の問題といえば問題です。でも、まず、図をかくのがひたすら鬱陶しいです。そして、そのあとの計算もつらい。。最初漸化式を立てて素直にやってましたが、計算が暴発しかけてたので、図形的に辺の比に着目して処理しました。結局ぶっ壊れたと思ってた計算が合っていました。。つらい。。(1)が計算できれば残りはできると思います。あと(3)はまあ結論は三角形の頂点にいくのは分かってるので、そう書きたい衝動にかられましてたが、実際減点はどうなんだろう。とりあえずx座標の極限とってからそれを代入して、頂点にあることを確かめましたが。普通に計算して極限出してもいいですし、角度に注目して1/cosを計算するみたいな手法でも良さそうですね。うーん、純粋難易度は標準なんだろうけどなあ。面倒臭いなあ。やや難って言いたい。

第4問　n枚のコインのうち表が奇数枚になる確率

(1)(2)は表が出る確率が変わりますが、素直に奇数枚になる確率を問うてます。かなり二項定理の高度めの技術を駆使してシグマすることもできるとは思いますが、基本的には確率漸化式を立てるという方針を思いつくかが肝です。(2)は少し変形して隣り合う項の形に持っていくタイプの漸化式を解かないとだめですがまあできるかなと思います。(3)は前半、中盤、後半で確率が変わるというタイプです。うーん、いい方法が思いつかず、3つのうち全部奇数か、一つ奇数かで場合分けして、愚直に計算して合計しました。eの定義式のタイプなのでその極限を使いつつ。しかし、この(3)だけで25分？30分？かかってしまい、本当は計算スペースがあまりないことを考えると、本番ではこの解き方ではあせりから捨てざるをえなかったような気がします。。もっとスマートな解答はありますが時間内には思いつきませんでした。。かなり難しいと思います。

第5問　二次方程式の解が1のn乗根になる条件

実数係数の二次方程式ですから、共役複素数も解になります。両方実数解か両方虚数解で場合分けですね。実数解の方は1か-1かに限られますし、虚数解の場合は絶対値が1ですから解と係数の関係でbが決まりますね。aの方は範囲を絞ってしらみつぶしと。いやあ、すごく綺麗な問題だなあ。いろいろ学ぶところも大きいし。演習に使いたいと思いました。難易度は標準だとは思います。

計算は結構辛かったですが、東大の入試で計算の重要さは痛感しましたので、受験生の気持ちを知る良い経験ができたなと感じました。