きょうのスレスレはなぜできるの？！

松谷です。

台風しょぼかったですね！

さて、特にネタもないので、ふと朝思ったことを。（どっかで書いたかも。もう忘れたしいいや。。。）

ピタゴラスイッチっていう番組があるんですね（僕は見れてないんですが）。その中で今日のすれすれとかというコーナーがあったそうです。

上の写真がその中の一コマです。

まっすぐの棒がなんか知らんけど、めちゃくちゃ曲がった穴を通過していく！！

みたいな驚きを持ってみた人がいるんじゃないでしょうか？

 

 

いないか。。

 

 

まあいると仮定しましょう（笑）

一応これが高校数学周辺で話せる話なので、もしかしたら数学を学ぶ意味を少し感じるかもしれません！

 

まずは、単純化してみますと、

こんな問題に置き換えられるかなと。

座標の設定したりするときはできるだけ0が多くなるようにして、軸を利用したり、場合によっては対称性を利用するのも大事です。形や角度が問題になっねるときは、縮尺を変えて、どれかの座標を1にしたりすることもいいですね。

上の設定は完全な一般性は放棄してますけど。

さて、Z軸回転ですから回転軸に垂直に切ることをイメージしつつ、まずは線分上の点をパラメータ表示するところからスタートするのが普通かなと。

体積求めるだけなら曲面の方程式なんて、求めなくてもいいんですが、yz平面での切断面の方程式を求めたいということもあり、曲面の方程式を求めておいたらいいかなと。

そんでもって、yz平面なので、x=0を代入したら、なんと、

双曲線の方程式が出てきたわけですね！線分上の点を回転したときに、yz平面上を通過するときに双曲線の方程式を満たすわけですから、線分がうまく通過するわけですね！

 

まあなんとなく面白いかなと思いました！

昔、北大で似たようなテーマが誘導つきで出ていたことがあったみたいですね！

実際これは有名な話で、ねじれの位置にある直線を回転させると、回転一葉双曲面というのになるんですね。銭湯の着替えるところにある椅子って感じですね。

同一平面上にあったら円錐台とかになりそうですが、そうではないのが注意ですね。

 

小学生から出てきやすそうな質問なので、それに対して納得いく答えになっているかといえば微妙ですが、、、まあ、こんなもんにしときます（笑）