2023京都府立医科大学数学所感

松谷です。

京都府立医科大学の問題を解きましたので、感想を述べておきます。

全体

小問は解けるものの完答がやりにくい問題が多いなという印象でした。

難しさはちょっとベクトルが違いますが、今年の阪大くらいの難易度でしょうかね。

九大を少しましにした感じという方が近いかな。

第1問

正三角形と正方形から成る多面体の決定とそれに内接する球の体積についての問題。オイラーの多面体の定理ってふつうはほとんど使わないので、そんなのが題材になるんだなと思ったら、去年の問題でも使ったようですね。内接する球の体積は、対称面を考えて球の半径を確定させて、それのはみだし部分を円を回転したものとして積分で考えたらいいですね。ぎょっとしなければできそうな気もしますが、どうなんでしょうか。やや難かなあ。難かなあ。

第2問

パラメータ表示された関数であらわされた曲線のある点にを通る直線が接線になる条件。(1)は内積の性質そのものなので、証明も何も。。どこまでかけばいいかわかりませんが、角度を設定して内積の定義から述べるか、正射影ベクトルを証明して出したりするかでしょうかね。(2)は(1)を使ったら極限値の条件がθがπ/2となることと一緒なのでそれは接線ってことなんじゃないのと最初思いました。でもそれは証明にはなっていないのかなと思って、成分をおいて、微分係数の定義式を使って極限値の条件を書き換えてあげたら、接線の方向ベクトルと法線ベクトルの内積が0という式が出てきます。やや難じゃないでしょうかね。

第3問

複素数のn乗とその共役複素数の和で定義された数列の性質。(1)(2)は計算するだけですね。(3)が結構難しいですね。すべてのkについて成立すると言っているので、恒等式としてkにいくつか入れて必要条件から条件を引っ張り出してくるのでいいでしょうかね。あとは極形式のrについて考察することもできなくはないかなと。でも結構難しいなと思います。やや難～難

第4問

共焦点で直交する楕円と双曲線の性質。二次曲線という現役生が手薄になりやすい分野からの出題です。でも基本だけを聞いているので、そこまで苦戦しないんじゃないでしょうか。交点も普通に消去すればいいだけですし、回転体の体積も普通にπy^2を積分したらいいですね。極限も何もポイントがないような極限なので心配になります。やや易しいのでこれは完答したいと思います。

どうでしょうかね。1完3半が最低ラインでしょうかね。2完2半すればいい感じかなと思います。ちょっと僕自身の合格ラインの考察がまだ弱いので予想ですが。。