文字を入れ替えた式が並んでたら元の形を考えてみる

松谷です。

A(a,b)から円C:x^2+y^2=r^2へ引いた二接線の接点をP,Qとすると、

PQを通る直線のことを円CのAを極とする極線と言ったりします。

その途中で、こういう場面があります。二接点を(x_1,y_1),(x_2,y_2)としたときに、(a,b)を通るので、

x_1 a+y_1 b=r^2

x_2 a+y_2 b=r^2

という二式が成り立ち。その式をじっと睨んで、

ax+by=r^2上に、(x_1,y_1),(x_2,y_2)がのっかっている。すなわち極線の式がそれである。

というように読み替える場面があります。

この似たような文字を入れ替えた式を見て、その元の形を考えるってちょこちょこあるんですね。

 

たとえば、

eのπ乗とπのe乗の大小を比較するために、次数が違うので、対数をとって、整理して

loge/eとlogπ/πの大小を比較をすればよいことがわかります。

そのあと、ぐっとにらんで元の形のlogx/xの増減を考える、なんてことがあります。

 

また、最近２回くらい遭遇したのが、次のような状況です。

異なるα,β,γが3次方程式f(x)=0の解という状況で、以下の式が成り立つような3次式g(x)を検討するという問題で、

g(α)-α^2+2α=0

g(β)-β^2+2β=0

g(γ)-γ^2+2γ=0

 

ぐっとにらんで、

 

元の形を考えてα,β,γがg(x)-x^2+2x=0の解だな、だから、左辺はkf(x)と書けるなと気づくみたいな。

まあ最後のは少し難しいと思うんですが、似たような形が並んでいたら、その式の特徴に敏感になるというのは大事なことですよね。

もちろん、和と差で考えて、対称式や交代式などを利用することも多いですしね。

 

短期間で２回遭遇したのが珍しかったので、記事にしてみました。