2024大阪大理系数学所感

松谷です。

東大京大に引き続き阪大理系数学を解きましたので、その感想を述べておきたいと思います。

自分の備忘録程度ですが。

また予備校のページのリンクを張らせてもらいました。

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全体　いやこれかなり難しいでしょ。僕の慣れの問題か、東大京大と完全に同等の難易度を感じました。なんならわずかにやりにくい。東大とかほど計算量は多くないですが、発想的に。去年も一昨年より難しくなったなと感じたんですが、これは相当かなと。医学部以外なら1完でも十分合格ラインだと思います。医学部でも2完3半くらいで十分勝負(1,4完答、2,3,5を半分ずつくらい)になるような気がしますが。

第1問　グラフの交点のx座標の極限

まず(1)で交点のx座標つまり方程式の解の一意性と存在性を同時に示します。当然、グラフの単調性かつ中間値の定理です。そうなんですが、微分して単調減少を示すのが結構やっかいで、範囲を絞って考えてなど工夫が必要です。(2)ではしっかり値としては求まらないその交点のx座標の極限値を求めます。このようなときはまずnがかなりおおきい状態でのグラフをだいたい書いてみます。そうしたらめちゃくちゃ一気に下に行くことがわかって三角関数部分の影響は少ないと。なるほど0にいくんだろうね。じゃあそれを示すべく適当な値よりは小さいことは確定ですねと言ってやってはさみうちですね。(3)もそういう論法でもいけますが、(2)の結果を使ってやればよりスマートに示せます。いやあ結構難しめですし、すごく受験生で差が出ると思います。かなりの高得点層だけ完答を狙えるくらいで、あとは(2)まででも上出来かと。

第2問　複素平面上の不等式を満たす領域

これまた難しい。多分第1問よりもうちょい難しい。しかも(1)から。というか(1)できないなら(2)もほぼできないので、0点が続出だと思います。不等式が二つ与えられていてそれらを満たすように二変数が動くと。このようなときは、置き換えが有効でしたのでそれでやってみました。阪大の去年のベクトルの問題を思い出しましたが、置き換えた文字は独立に動けると考えて、置き換えた文字でf(1+i)を表していくわけですね。そのあとも、複素数平面上での二変数の足し算ですからベクトルをイメージして処理するわけですね。この部分だけでも今年の京大の2番の内容です。それをちょっと平行移動したり回転したりしてやっと範囲を得ると。(2)はその領域のちょうどぎりぎり端っこに原点が含まれますので、解が無数に出ることなく１つに確定できるわけですね。ここはただの計算といえば計算。いやあ部分点がきついので、かなり難しいと思います。。僕だけ?

第3問　ねじれの二直線に直交する直線の存在証明

第1,2問と来て難しさに焦りを覚えながら到達した第3問が本格的な証明問題。おいおい。。まず設定は、空間を方程式で扱うのは厳しいので空間ベクトルですね。でも完全に2直線を文字だらけ扱うのは大変なので、一方は軸に揃えてしまって一般性を失わないとか言って始めたらいいんじゃないかと思います。そのうえで、直線上の点をパラメータ表示して、内積0の式二本。ねじれの位置なら平行じゃなく交わらないから２文字２式の連立方程式に解がありますねと。これもやや難しい。

第4問　円を含む平面図形の回転体の体積

第1~3問と絶望を感じながらさまよってきた受験生が初めて希望を見いだせる大問です。（しかしこれが唯一か）普通にy軸回転体です。y軸に垂直に切って体積求めたげたらいいかなと。円の式をxについて解いてあげて、二つの方から正しい方を選びつつ。まあこれは(2)も標準です。ただ、答えが汚いんですよ。めちゃくちゃ。疑心暗鬼になりますね。でも今年の問題でこれを外すとほぼ終わります。厳しい。

第5問　互いに素な自然数の個数。

(1)も別に簡単ではないです。どういうことになってるのかなと2^2×3とかで少し調べると状況がわかります。互いに素じゃないやつを数えて引くというのがいいですね。pがらみqがらみrがらみを考えて重複部分を引いて足す。包除原理ですね。証明問題なんで結論がわかっていますから数え間違え計算間違えも修正できますね。(2)は約数ということは(1)の結果で割り算ができるということですね。ひとつ差のやつは基本互いに素になるから残っちゃうなということに注意して、どういった場合に消えるのかなと。2-1は1か、といったあたりから考え始めるわけですね。しっかり答えを出すのも大変だと思いますが、絶対にそれ以外ないというところをしっかり述べるのも大変なことです。結構難しめです。

 

いやあ阪大の数学、東大京大の数学より慣れがない分難しく感じるなあ。いやでもそれを考慮してもしなくても今年のは結構難しいと思います。うちの塾でいう完全に演習2レベルの難しさです。

東大京大を受ける予定にしていて、直前で阪大に下げるかというのはそんなに簡単にできるというわけでもないということを感じます。