恒等式の係数比較できるのはなぜ？

松谷です

たまには少しだけ数学の話題でも。

 

axⁿ+bx^n-1+cx^n-2+…dx+e=0

がxの恒等式のときに、a=b=c=…=d=e=0となります。

こんな感じで、多項式が恒等式であるとき係数比較ってできますね。

なぜでしょうかね。

 

まず、簡単な例で考えてみます。

ax+b=0がすべてのxで成り立つとします。

そうしたら、当然x=0でも成り立ますから、b=0じゃないとだめです。

てことは、ax=0という式になりました。

さらに、x=1でも成り立ちますから、a=0じゃないとだめです。

逆に、a=0,b=0としたとき、0x+0=0となりますから、これは当然すべてのxについて成り立ちますね。

 

では、これをもう少し一般化して説明することどうなるのでしょうか

axⁿ+bx^n-1+cx^n-2+…dx+e=0

がxの恒等式のときに、a=b=c=…=d=e=0となることの説明ですね。

 

まず、恒等式っていうくらいだから、全てのxについて成り立つわけですね。

そうしたら、異なるx=x_i(i=1,2,3,…n,n+1,…)で成り立つと言えますね。

左辺をf(x)とおくと、f(x_i)=0となりますね。

とりあえず、i=1,2,3,…nで成り立つ時点で、左辺は、因数定理により

(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)…(x-x_n)を因数に持つことなります。最高次の係数をaとして、

f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)…(x-x_n)とかけますね。

しかしながら、f(x_n+1)=0も成り立つわけですから、上式に代入すると、

a(x_n+1-x₁)(x_n+1-x₂)(x_n+1-x₃)…(x_n+1-x_n)=0となります。

しかしながら、x_n+1はx_i(i=1,2,3,・・・n)と異なります。

てことは、a=0じゃないとあかんわけです。

そうしたら、f(x)=0×(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)…(x-x_n)つまり、f(x)=0なわけですよね！

てことは、係数全部0というわけですね！！！

ほかにも、n次以下の方程式なのに、n+1個解を持ってるので、恒等的に0でない限り矛盾みたいな説明もありえます。(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)…(x-x_n)(x-x_n+1)を因数にもつことまでいっておいてn+1個因数を持っているのがn次式であることに矛盾するなどということもありますね。

 

ちゃんちゃん。

 

 

これで安心して、恒等式を使えますね～。

 

しかも、多項式じゃないと係数比較が怖くて使えないことがわかりますね。

論拠にしてる因数定理(や代数学の基本定理)が多項式(やn次方程式)をもとにした話ですからね。

 

例えば、asin²θ+bcos²θ+c=0という式がすべてのθについて成り立つと言われても、a=b=c=0とは限らないわけです。a=1,b=1,c=-1とかもありますからね！！(k,k-k)でいけちゃいますね。

asinθ+bcosθ=0なら、a²+b²=0じゃないとすると、合成して、√(a²+b²)sin(θ+α)=0となるが、左辺はθに伴って変化するので一定の値にならない。よって、a²+b²=0すなわちa=b=0。と結局予想通りの係数しかありませんけどね。

必要性からせめて、θ=0のときb=0っじゃないとだめ。θ=π/2のときa=0じゃないとだめ。逆に、a=b=0のときは、θがなんであっても0になるみたいな示し方でもいいですけどね。

 

 

 

まあ誰もあまり興味がなさそうな話ですが（笑）！！

よくぐちぐち文句を言っているただの素人ブロガーになってきてしまっているので（笑）、

一応塾講師やっているという風に見せておこうかと（笑）