2022東大理系数学、東大文系数学

松谷です。

京大に続いて2022の東大の理系数学と文系数学について所感を述べたいと思うのですが、その前に僕の心の声としては、全体的に重いなあというものでした。

問題のリンク

東大理系数学

全体:5年ぶりくらいに確率が復活しました。数1A2Bが4問と数3が2問で、東大にしてはいつもよりは数1A2B寄りの問題だった気がします。まあでもバランスよく出題されているとは思います。難易度はどうなんですかね。超難問はありませんでしたが、すべてがそれなりに重く、記述や論理がうるさく問われていたり、発想が問われていたり、問題文の読み取りからの立式が面倒だったりで、全体での重さが上がっている感じはします。小問がやはり多いので部分点は拾いやすくなっていますが、それでもちょっとだけ点が取りにくいか。1番ともうひとつくらい2,3,4,5のどれかを完答して、残りも部分点を稼いで、6は捨て気味。理1,2なら2完2半くらいがまず目指すラインでしょうか。1完5半くらいでも土俵に残ってると思います。理三志望でも試験場だと3完2,3半くらいで勝負になるんじゃないかな。超上位の人は知りませんが。。。京大数学よりだいぶ重いというのが正直な印象です。

第1問 積分を含む関数の最小値を求める問題。積分を含む関数の増減は実際に積分をしなくてもわかるので即微分して、増減表書いて終了ですね。あとは、ちょっとだけ面倒な、でも許容範囲内の積分を実行する。第1問は例年東大理系は取りやすいのですが、今回もそうで、この問題は一番取りやすいやや易しい問題です。ここは取らないと正直厳しい。

第2問 よくわからない漸化式を満たす一般項の性質についての問題。まあ(1)は調べれば一瞬に性質がわかるので帰納法ですね。(2)も(3)おそらくそうだなあっていうことは分かるんですが、それをきちんと論証するのが結構骨が折れると思います。やや難だと思います。論証で結構差がつくかなと。

第3問 放物線上を動く点と他のいくつかの定点からの距離が一定以上離れている点の存在範囲の面積。問題文がすごく長い!そしてそこから図と式を起こして該当範囲を求めるまでがかなり苦労します。立式してしまえばあとは数2B範囲の微分ですね。実際、難しくないんですが、かなり時間がかかるというのが正直なところです。難易度としては標準なんですけど結構面倒です。時間をどこに投入するかですね。。僕はいろいろ読み間違ってここに40分かかったためそれまでの貯金が吹っ飛びました。

第4問 数2B範囲の微分と積分を題材としたある条件を満たす直線の存在証明。(1)は文字が多いですが、結局3次方程式の3解の話になりますから、3次関数の極大と極小が異符号を言うわけですね。mが十分大きいときっていう議論すればいえますが、東大はちょこちょここの議論が要求されてますね。(2)はお~稲荷塾お得意の特殊12分の1公式の話が絡んでますね。解と係数の関係と、βが中点であることと(1)の内容を合わせて考えるとできますね。標準的だと思いますが、ちょっとだけとっつきにくいと感じる人もいると思うので、案外出来は分かれるかもしれません。

第5問 条件を満たす線分の中点が通過する範囲の体積を求める問題。しっかりした東大っぽい求積の問題ですね。円錐面の方程式とか活用したくなりますが、真横からみたらわかりやすい状況なので、円錐面のz=tのときの右端の点が作る中点の軌跡を求めてそれを回転してあげたらいいかなと。円を回転させる感じですかね。そうすると中空のドーナツみたいな断面になるので、それをdtとdzの変換に注意して積分してあげましょう。最初中空の場合と中空じゃない場合があって場合分けが必要だ!とか思ったんですが、実はどの場合も中空っていう状況で僕にとっては嫌らしく感じました。そうじゃないと計算できないんですが。標準~やや難くらいですね。

第6問 コインを投げて表か裏かと、それまでに裏が出た回数によって、座標平面上を動く点が原点に戻ってくる確率を求める問題。題意把握して、どういった状況のときに原点に戻ってくるのかをつかむまでが大きな勝負です。試験という頭が茹で上がっている状況でやるのはかなりハードです。なんとか状況をつかめたとしても(2)で文字で一般的に考えなければならず、一般化するには重複組み合わせの考え方をその場でしっかり出せたかどうか。それで終わりかと思ったら、そのあと、しかも確率の最大値まで考えさせていますが、最後のオマケ問題はいらないような。。やや難です。家でやるならね。試験場でやるなら難です。個人的には(2)で核心部分を思いついたときは嬉しかったですけどね。。。

東大文系数学

全体:去年より全体的なレベルが底上げされたような印象です。第1,2問で計算力、第3,4問で発想力が必要という感じです。第3問以外は結構時間も食います。かなりしっかりとした実力が求められます。第2問をとって、第1問,第3問でどこまで部分点をもぎとれるかですね。第4問は(1)だけ取り逃げでいいでしょう。

第1問 放物線の2接線が原点を通るときの、2接点で接する円に関する問題。(1)は東大ではおなじみ気味の基本対称式からの解と係数の関係の逆して存在条件を考える感じですね。(2)は円の半径をどうやって求めるかですが、僕は法線ベクトルが作る三角形の辺の比を使ってやってみました。やり方によっては計算が暴発しそうだなという感じです。でも結局最終的にもひとつ計算しなければならず計算問題という感じですね。東大文系の標準的な問題ですね。差がつくと思います。

第2問 ある点を通る直線が3次関数と3交点をもつ条件とそれについての計算問題。素直に直線と三次関数を連立する。3次方程式に見せかけて2次方程式の議論を行うよくある流れです。その後はひたすら基本対称式などを利用して計算したり、そのあと3次関数の微分したりして定義域に注意して値域を求めます。ついていけばいいだけといえばだけです。面倒ではありますが、難易度はやや易~標準。ここはできたらとりたい気がします。

第3問 よくわからない漸化式を満たす一般項の性質といくつかの項の最大公約数。(1)はさすがにmod&帰納法で一瞬な気がします。(2)は、答えはわかると思いますが、それを漸化式から誘発されるユークリッドの互除法を駆使してちゃんと記述できたかですね。記述が肝なので標準ですね。う~ん少し議論が飛躍しててもなんとか書いておきたい。

第4問 理系と共通の設定の確率の問題です。理系より少しだけ易しくなっていますが、難しいことには変わりません。(1)だけなんとか拾って、(2)は基本的に捨てることになると思います。(1)標準、(2)難

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