数2B微分最重要問題？！

松谷です。

数2Bの微分の最重要問題とは何か。

 

人によって意見が分かれるかもしれません。

 

僕は、接線の本数問題だと思います。

もっというと、

「ある点から３次関数のグラフに対して接線を引いたときに、接線が〇本引ける領域を求めよ」

という問題だと思っています。

これは本当に重要だと感じていて、この問題を完全に出来るようにしない状態で受験に臨む人ははっきりいって自殺志願者だと思っています。

 

とりあえず負け戦に臨みたいみたいな。

 

あほかと。

 

そんなことさせるわけにはいきません。

 

そんなことを思って、演習クラスで喝を入れながら、「できないと帰れない問題」として設定してやってもらっていました。

 

 

もちろんこの問題はいろいろな要素の複合問題になっています。

 

・微分係数を求めるために多項式を微分すること。

・外部の点から接線を引くという設定なのに、接点をtで設定することから始めてそこでの接線が外部の点を通るとすること。

・接点の個数を接線の本数として考えること。（二重接線がないとして）

・外部の点(x,y)を定数とみてtの方程式として考えること。（(x,y)に対してtが存在するという条件を考える軌跡領域の話）

・tの3次方程式の解が3つあることを二つの極値の存在と極大極小が異符号からいうこと。（これもパラメータ分離させたりいろんな方法も思い浮かべつつ2パラメータなので分離しないで行くかなと。）

・tの3次関数を微分したものが実はたすきがけで因数分解出来ること。

・因数分解により具体的な解が求まっているがために、極値が存在し、極値をとるtが相異なっていてという条件は考慮しないような感じで、極大極小の異符号だけ言えるということ。

・不等式で表された領域を図示するときに、片方は元の3次関数のグラフになっていてもう一つは変曲点の接線になっていること。

・変曲点の接線の式は難しいが実はそれと元の３次式を連立すると変曲点（対称点）のx座標の3重解になっているため、元の3次式を立方完成したときの1次以下の項と一致するということ。

・領域を塗るときにも一個ＯＫの領域を見つけて境界をまたぐごとに符号が変わることを認識して塗ってやる。

 

ざっと考えただけでこれだけの要素が入っていて、それらが一気に復習出来るような、ものすごく効率的かつものすごく教育的な問題なんですよね。

 

だからこそ、100%理解して、なんとか書けるだけにとどまらず、よどみなく書けるというレベルまで上げることを主張しておきました。