回転の仕方によって体積は変わるか？

松谷です。

なんとなく小学生の質問があったんですね。下の写真の①,②の体積は違うのか？

みたいな。そして、さらに似たような③,④も合わせるとなかなか迷いますよね。

 

 

結論から言うと、全部違うんです！

 

どんな大小関係だと思いますか？！

 

 

正解は、

 

 

 

②＜①＜④＜③

 

でした！！

いやあ面白いですね。

順に、

24π、32π、25832π/625、256π/3

というところでした！

①②③は小学生でもできますが、(③は球ですしね)、

④は基本的には、高校範囲で積分をしないと厳しいかなと思います。回転軸からの最長距離をどこでとるかに留意して、区間を場合分けして積分ですね。がっつり最難関大レベルの高度な典型問題です。(東大京大阪大科学大早稲田大あたりで見そうな内容)

 

体積は求まりました。それでも、なお気なるのは④がどのような絵(見取り図)になるかです。

 

かなり想像しにくいですよね。

 

いやあ、うーん、

 

立体の求積は絵がかけなくても求められてしまうので、そのあたりを適当にしがちですが、せっかくなので、描いてみます。

 

うーむ。

 

おりゃ！

あっ、描いてみるとはっきりと気づくことがありますね。

これは円錐台と球冠(もしくは球帽？球から切り取った帽子の部分)の合わせたやつですね。

 

てことは、少し体積比を使って違うような求め方を考えたくもなるかもしれませんね。

 

なんとなく面白いですね！

絵を描いてみるだけだったら、小学生もできそうですしね！

 

でも、あんまりこの図見たことないな。参考書でもネットでもなんでだろ。そして、自分の使ってるchatgptだと上手く描けないな。。

 

まあいいか。

では！