3変数交代式はどの文字を入れ替えたらいいのか？

松谷です。

文字を入れ替えても元の式と同じになる式を対称式といいます。

a^3+b^3とかですね。

それと、一緒に習うことが多いのが、

文字を入れ替えると元の式のマイナス1倍になる式である交代式というやつですね。

a^2-b^2

とかです。a,b2変数の交代式はa-bを因数にもちそれと対称式の積に因数分解されます。

a^2-b^2をf(a)と考えたらaにbを代入したf(b)=0であるので因数定理よりa-bを因数に持つことがわかりますね。a-b自体も交代式であることを考えると、

交代式=交代式✖️ほにゃらら

となるわけで、ほにゃらら部分には文字を入れ替えて元の式と同じになる式、すなわち対称式が来ないと辻褄が合いませんね。

 

まあ、そんなことを学んだりすると思います。3変数になっても同じような感じですね。だいたい。

a^2+b^2+c^2とかが対称式で、

a+b+c,ab+bc+ca,abcとかの基本対称式で表されますよとか学んだりします。

さて。

a,b,cの交代式も同じですよね。文字を入れ替えたらマイナス1倍になる式だ！差の積(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持つ！

てな感じです。

 

で、生徒に聞いてみたんですね。

 

「文字を入れ替えるってていうのは、どの文字を入れ替えるの？」

 

 

「3文字を入れ替えるんですよ！」

 

とのこと。

 

ほう。3文字を入れ替えるというのはどういうこと？3文字を自由にしていいの？

aをbに変えて、bをcに変えて、cをaに変えていいの？

 

(a-b)(b-c)(c-a)をそれで入れ替えてみると、

(b-c)(c-a)(a-b)になるなあ。これ元の式と同じちゃう？

 

そう、あかんねん。この入れ替え方はあかんねん。

なんかサイクリックに循環させるような形でずらしてもあかんねんな。

a,b,cの並びは6通りあるけど、a,b,cそのままのやつは除いたとして、b,c,aみたいなのとか、c,a,bみたいなやつはあかんねん。それでは元の式と同じ式になるねん。

 

 

交代式っちゅうのは、どの2文字を入れ替えても元の式のマイナス1倍になる式やねんな。

f(b,a,c)=-f(a,b,c)

f(c,b,a)=-f(a,b,c)

f(a,c,b)=-f(a,b,c)

ってことですなー。そしたら、f(b,c,a)は第二式のbとcを入れ替えたらやつですから、-f(a,c,b)になりますね。第三式を考えると、-1倍の-f(a,b,c)つまり、元の式と同じになるじゃないか！

 

 

なんか授業口調になってしまいました。。

 

 

 

まあ、僕がつまづいたところを生徒に聞いてみただけですね。

 

僕自身がそんなに数学の理解力が高いわけじゃないので、まああらゆるところで詰まりまくってるのでね笑

 

それをふと生徒にも共感して欲しくなるわけですね笑